Chứng minh bất đẳng thức $ \frac{a^{2}}{b+c}+ \frac{b^{2}}{c+a}+ \frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 Lâu lắm rồi không giải toán. Nay thử giải thử lại xem sao.

Cho a, b, c > 0.

Chứng minh bất đẳng thức:

$ \frac{a^{2}}{b+c}+ \frac{b^{2}}{c+a}+ \frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Sự khác nhau giữa đạo hàm và vi phân

Vi phân và đạo hàm khác nhau về bản chất, về đơn vị đo.. nói chung là khác biệt, vì chúng là hai phạm trù khác nhau.
 
Một hàm số dạng $y = f(x)$ , ta hiểu nó gồm hai đại lượng biến thiên:
* đại lượng x (gọi là biến số hoặc đối số) thuộc tập D (Domain : tập xác định)
* đại lương y = f(x) (gọi là giá trị hàm tại x) thuộc tập Y (tập giá trị, thường lấy trên R)
Hai tập D và Y đều là tập con của R nhưng đơn vị đo khác nhau, bản chất khác nhau và không nhất thiết phải cùng kiểu đơn vị đo.
 
* Đạo hàm: bản chất là tỉ số của hai đại lượng trên,
* Vi phân: để đơn giản ta có thể định nghĩa theo đạo hàm: df = f '(x).dx  Như vậy về bản chất vi phân df (hoặc dy) tương thích với giá trị hàm.

Lấy ví dụ dễ hiểu: 
Xét chuyển động của 1 chất điểm: sau khoảng thời gian t (giây), đi được quãng đường là s (met)
ta xét từ thời điểm to, chất điểm đi trong tgian ∆t = t-to được quãng đường là ∆s
khi đó tỉ số: ∆s/∆t khi ∆t --> 0 chính là vận tốc tưc thời tại đó
Lim (∆s/∆t) [khi ∆t-> 0] = v
thấy ngay: v = s'(t) = ds/dt đơn vị đo là m/s

Bây giờ nếu ta chia quãng đường đi thành những đoạn rất nhỏ, mỗi đoạn như vậy gọi là vi phân, kí hiệu là ds , ta có  $ds = s'.dt$ và như vậy đơn vị của vi phân ds là met

Cái bản chất khác nhau là chổ đó, đơn vị của vi phân chính là đơn vị đo của hàm, trong khi đạo hàm không có đơn vị (hoặc là tỉ số hai đơn vị)
 
Về ý nghĩa hình học, xét ví dụ sau:
Xét đường cong (C): y = f(x) , điểm Mo(xo, f(xo)) thuộc (C), đường thẳng d qua Mo cắt (C) tại điểm thứ 2 là M(x,f(x)).
Khi cho M --> Mo thì (d) thành tiếp tuyến của (C) tại Mo. Đạo hàm của f(x) tại xo chính là hệ số góc k của tiếp tuyến  k = f '(xo) = tanα (α là góc tạo bởi nhánh > 0 của d và tia ox), đạo hàm chính là tanα (là một tỉ số, nên không có đơn vị) , trong khi vi phân chính là đoạn f(x) - f(xo)
 
Nếu ta gọi M'1, M'o là hình chiếu của M và Mo trên Ox  ; M", M"o là hình chiếu của M trên Oy thì có:
M' - M'o = dx ; M" - M"o = dy
f '(xo) = k = tanα = (M"-M"o) /(M' - M'o) = dy / dx 

vi phân = dy = M" - M"o = (M'-M'o).tanα = f '(xo).dx

 Ý nghĩa hình học: đạo hàm là tanα (là tỉ số: đối trên kề), vi phân là đoạn M"M"o

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: $\cos\frac{A}{2}=\sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{C}{2}\cos\frac{B}{2}$

Đề: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: $\cos\frac{A}{2}=\sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{C}{2}\cos\frac{B}{2}$

Giải:

Chứng minh rằng $\bigtriangleup ABC \ vuong \Leftrightarrow \sin^2A +\sin^2B +\sin^2C = 2$

Đề: chứng minh rằng $\bigtriangleup ABC \ vuong \Leftrightarrow \sin^2A +\sin^2B +\sin^2C = 2$

Giải:

Chứng minh rằng nếu $a\cos B - b\cos A = a\sin A -b\sin B$ thì tam giác ABC vuông hoặc cân

Đề: Chứng minh rằng nếu $a\cos B - b\cos A = a\sin A -b\sin B$ thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
Giải:

Chứng minh rằng nếu $a=2b\cos C$ thì tam giác ABC cân.

Đề: Chứng minh rằng nếu $a=2b\cos C$  thì tam giác ABC cân.
Giải:

Chứng minh rằng nếu $\sin A = \frac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C}$ thì tam giác ABC vuông

Đề: Chứng minh rằng nếu $\sin A = \frac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C}$ thì tam giác ABC vuông

Giải:

Chứng minh rằng $\bigtriangleup ABC \ vuong \Leftrightarrow \sin ^2A + \sin ^2B + \sin ^2C = 2$

Đề: chứng minh rằng
  \[\bigtriangleup ABC \ vuong \Leftrightarrow \sin ^2A + \sin ^2B + \sin ^2C = 2\]

Giải:

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có $\cos ^2A + \cos ^2B + \cos ^2C = 1-2\cos A\cos B\cos C$

Đề: chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
\[\cos ^2A + \cos ^2B + \cos ^2C = 1-2\cos A\cos B\cos C\]

Giải:

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: $\sin ^2A + \sin ^2B + \sin ^2C = 2(1+\cos A\cos B\cos C)$

Đề: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
\[\sin ^2A + \sin ^2B + \sin ^2C = 2(1+\cos A\cos B\cos C)\]
Giải:

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có: $\cos A+\cos B+\cos C = 1+4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$

Đề: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
\[\cos A+\cos B+\cos C = 1+4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\]
Giải:

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có $\sin A+\sin B+\sin C = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$

Đề: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có
\[\sin A+\sin B+\sin C = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\]
Giải:

Chứng minh $\frac{1-\sin 2x }{\sin x +\cos x}-\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}}=\sin x$

Đề: chứng minh
\[\frac{1-\sin 2x }{\sin x +\cos x}-\frac{1-\tan^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan^{2}\frac{x}{2}}=\sin x\]

Giải:

Chứng minh $\frac{2\left ( \sin 2x+2\cos ^{2}x-1 \right )}{\cos x-\sin x-\cos 3x+\sin 3x}=\frac{1}{\sin x}$

Đề:
Chứng minh  \[\frac{2\left ( \sin 2x+2\cos ^{2}x-1 \right )}{\cos x-\sin x-\cos 3x+\sin 3x}=\frac{1}{\sin x}\]
Giải:

Chứng minh $1+\sin x +\cos x = 2\sqrt{2}\cos \frac{x}{2}\cos \left ( \frac{\pi }{4} -\frac{x}{2}\right )$

Đề:
Chứng minh
 \[1+\sin x +\cos x = 2\sqrt{2}\cos \frac{x}{2}\cos \left ( \frac{\pi }{4} -\frac{x}{2}\right )\]
Giải:

Chứng minh $\sin x +\sin3x+\sin5x+\sin7x=4\sin4x\cos2x\cos x$

Đề:
Chứng minh rằng \[\sin x +\sin3x+\sin5x+\sin7x=4\sin4x\cos2x\cos x\]
 
Giải:

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 12

Download: Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 12

Trong khi chờ 123doc duyệt tài liệu, mời các bạn xem trước 20 trang đầu:

Một cách để tính tổng $1^k+2^k+...+n^k$

Trước đây, đã có bài viết dùng Tam Giác Trung để tính tổng $1^k + 2^k + .... + n^k$. Hôm nay mình sẽ giới thiệu các bạn một phương pháp khác để tính tổng này. Thật ra dùng phương pháp Tam Giác Trung các bạn sẽ tính được nhanh hơn, tuy nhiên bài viết khá hay và giúp chúng ta mở mang tư duy nhiều hơn, biết thêm một phương pháp khác.

Bài viết này của tác giả Phan Đức Thành, đăng trong Tuyển Tập 30 Năm Toán Học Và Tuổi Trẻ.

Bài tập toán 10 học kỳ 2

Bài tập toán 10 học kỳ 2

Nguồn gốc của tiên đề? Tại sao tiên đề không chứng minh được

Giới thiệu bạn đọc bài viết có tiêu đề "Cái gì là cơ bản" của Giáo sư Lê Văn Thiêm. Hy vọng sau khi đọc bài viết này các bạn nào chưa biết thì sẽ rõ điều băn khoăn bấy lâu về tiên đề, tại sao tiên đề không chứng minh được hoặc không cần chứng minh. Bài viết này đăng trên quyển "Tuyển tập 30 năm toán học và tuổi trẻ" của Nhà Xuất Bản Giáo Dục năm 1997.